TEMA 2: Funciónes y su representación

 Las funciones son relaciones matemáticas entre dos conjuntos de elementos, donde a cada elemento de un conjunto de partida (dominio) le corresponde un único elemento de un conjunto de llegada (codominio).

1. Definición formal de una función

Una función $f$ de un conjunto $A$ a un conjunto $B$ se denota como:

$$f: A \to B$$

Esto significa que $f$ asigna a cada elemento $x \in A$ un único elemento $f(x) \in B$.

2. Componentes de una función

• Dominio (A): El conjunto de entrada, es decir, el conjunto de valores que puede tomar $x$.
• Codominio (B): El conjunto de valores que puede tomar la función $f(x)$.
• Imagen: El conjunto de todos los valores que puede tomar $f(x)$.

3. Representación gráfica de una función

La representación gráfica de una función es una curva o línea en el plano cartesiano que muestra cómo se relacionan los valores de $x$ con los valores de $f(x)$. En el eje horizontal se representa el dominio (valores de $x$), y en el eje vertical se representan los valores de la función $f(x)$.

Ejemplo: $f(x) = x^2$

Para la función $f(x) = x^2$, la representación gráfica es una parábola, y sus valores se pueden calcular con algunos puntos:

• Si $x = -2$, entonces $f(-2) = (-2)^2 = 4$
• Si $x = -1$, entonces $f(-1) = (-1)^2 = 1$
• Si $x = 0$, entonces $f(0) = 0^2 = 0$
• Si $x = 1$, entonces $f(1) = 1^2 = 1$
• Si $x = 2$, entonces $f(2) = 2^2 = 4$

Gráficamente, al unir estos puntos, se obtiene una curva en forma de parábola.

4. Representación algebraica

Una función se puede representar algebraicamente por una fórmula, como en los ejemplos:

• $f(x) = 2x + 3$
• $f(x) = x^2 - 4$
• $f(x) = \sin(x)$

5. Tipos de funciones

Existen diferentes tipos de funciones, entre las cuales se encuentran:

• Funciones lineales: Tienen la forma $f(x) = mx + b$, donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con el eje $y$.
• Funciones cuadráticas: Tienen la forma $f(x) = ax^2 + bx + c$, y su gráfica es una parábola.
• Funciones polinómicas: Se componen de términos con potencias de $x$, como $f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 1$.
• Funciones trigonométricas: Como $f(x) = \sin(x)$, $f(x) = \cos(x)$, que se usan para modelar fenómenos periódicos.