TEMA 3: Ecuaciones y desigualdades

 Una desigualdad matemática es una relación entre dos valores o expresiones que no son equivalentes en magnitud. En otras palabras, nos indica que un número es mayor, menor o diferente que otro número. Esta diferencia es lo que denominamos desigualdad.

Cada una de las distintas tipologías de desigualdad debe ser expresada con diferente signo (> o <, etcétera) y tendrá una reacción a operaciones matemáticas diferente según su naturaleza.

Por lo tanto, si queremos explicar cuál es la finalidad de este concepto con el menor número de palabras posibles diremos que; el objetivo de la desigualdad matemática es mostrar que dos sujetos matemáticos expresan valores diferentes.

Tipos de desigualdades

Desigualdades estrictas: Se utilizan los símbolos < (menor que) o > (mayor que).

Desigualdades no estrictas: Se utilizan los símbolos ≤ (menor o igual que) y ≥ (mayor o igual que).

Propiedades de las desigualdades

El símbolo de desigualdad permanece inalterado cuando se suma el mismo número a ambos lados de una desigualdad.

El signo de desigualdad no se ve afectado al restar la misma cantidad a ambos lados de la desigualdad.

Signos de desigualdad matemática

Podemos sintetizar los signos de expresión de todas las desigualdades matemáticas posibles en los cinco siguientes:

Desigual a: ≠

Menor que: <

Menor o igual que: ≤

Mayor que: >

Mayor o igual que: ≥

Cada una de ellas debe relacionar dos elementos matemáticos. De modo que implicaría que a es menor a b, mientras que “a>b” significa que a es mayor a b. En el caso de “a≠b”, leeremos la expresión como a es desigual a b, “a≤b”; a es menor o igual a b, y “a≥b” implica que a es mayor o igual a b.

 

Es también importante conocer que la expresión de desigualdad matemática “a≠b” no es excluyente con las expresiones “a” y “a>b”, de modo que, por ejemplo, “a≠b” y “a>b” pueden ser ciertas al mismo tiempo. Por otro lado, tampoco son excluyentes entre sí las expresiones “a≥b” y “a>b” o “a≤b” y “a”.

Ejemplos

Las desigualdades matemáticas están formadas, en la mayoría de ocasiones, por dos miembros o componentes. Un miembro se encontrará a la izquierda del símbolo y el otro a la derecha.

Un ejemplo sería expresar: 4x – 2 > 9. Lo leeríamos diciendo que “cuatro veces nuestra incógnita menos dos es superior a nueve”. Siendo el elemento 4x-2 el elemento A y 9 el elemento B. La resolución nos mostraría que (en números naturales) la desigualdad se cumple si x es igual o superior a 3 (x≥3).

Notación encadenada

Conocemos por desigualdad de notación encadenada todas aquellas expresiones de desigualdad en las que se relacionan más de dos elementos. Sería este caso si, por ejemplo, relacionamos a, b y c de modo que cada uno es menor al otro.

Pongamos como ejemplo: a < b < c indica que “a es menor que b” y, a su vez, “b es menor que c”. De modo que podemos deducir que “a es menor que c”, esta propiedad la conocemos por el nombre de propiedad transitiva.

Diferencia entre desigualdad e inecuación

Es importante conocer que existe un elemento matemático diferente a la desigualdad matemática que es usualmente confundido con ella: las inecuaciones.

Una inecuación se basa en una desigualdad, pero su resultado puede ser incongruente o, simplemente, denotar que no existe solución posible al enunciado. Por lo tanto, una inecuación puede ser una desigualdad, pero, por otro lado, una desigualdad no tiene por qué ser una inecuación.

Por ejemplo, 3 < 5 es una desigualdad que se cumple, pero no será nunca una inecuación porque no contiene ninguna incógnita.

Por lo tanto, una desigualdad es una proposición que relaciona dos expresiones algebraicas cuyos valores son distintos. No necesita contener una incógnita y si es así puede ser, a la vez, una inecuación. Para operar con ellas debes entender sus propiedades ante la suma, resta, multiplicación y división de sus elementos.

Una ecuación en matemática es una igualdad establecida entre dos expresiones, en la cual puede haber una o más incógnitas que deben ser resueltas.

Las ecuaciones sirven para resolver diferentes problemas matemáticos, geométricos, químicos, físicos o de cualquier otra índole, que tienen aplicaciones tanto en la vida cotidiana como en la investigación y desarrollo de proyectos científicos.

Las ecuaciones pueden tener una o más incógnitas, y también puede darse el caso de que no tengan ninguna solución o de que sea posible más de una solución.

Partes de una ecuación

Las ecuaciones están formadas por diferentes elementos. Veamos cada uno de ellos.

Cada ecuación tiene dos miembros, y estos se separan mediante el uso del signo igual (=).

Cada miembro está conformado por términos, que corresponden a cada uno de los monomios.

Las incógnitas, es decir, los valores que se desean encontrar, se representan con letras. Veamos un ejemplo de ecuación.

Tipos de ecuaciones

Existen diferentes tipos de ecuaciones de acuerdo a su función. Conozcamos cuáles son.

1. Ecuaciones algebraicas

2. Ecuaciones trascendentes

3. Ecuaciones funcionales

4. Ecuaciones integrales

5. Ecuaciones multigrano