TEMA 4: Sistema de ecuación

 Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que tienen un número común de incógnitas. El objetivo es encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen todas las ecuaciones simultáneamente.

Tipos de sistemas de ecuaciones

1. Sistema lineal: Un sistema de ecuaciones en el que todas las ecuaciones son lineales (es decir, las incógnitas tienen exponente 1 y no están multiplicadas entre sí). La forma general de un sistema lineal con $n$ incógnitas es:

   $$\begin{cases} a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n = b_1 \\ a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n = b_2 \\ \vdots \\ a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n = b_m \end{cases}$$

2. Sistema no lineal: Cuando al menos una de las ecuaciones no es lineal (puede involucrar productos o potencias de incógnitas).

Métodos para resolver sistemas de ecuaciones

Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones, dependiendo de la cantidad de ecuaciones y de incógnitas. Los más comunes son:

1. Método de sustitución:

   • Se despeja una de las incógnitas en una de las ecuaciones y se sustituye en las otras ecuaciones.
   • Este método es útil cuando es fácil despejar una variable en términos de las demás.

2. Método de igualación:

   • Se despejan dos incógnitas en dos ecuaciones distintas y luego se igualan las expresiones obtenidas para encontrar el valor de una de las incógnitas.

3. Método de eliminación (o reducción):

   • Se suman o restan las ecuaciones para eliminar una de las incógnitas.
   • Este método es útil cuando las ecuaciones tienen coeficientes que pueden cancelarse de manera directa.

4. Método gráfico:

   • Se grafican las ecuaciones en un plano cartesiano. La solución corresponde al punto de intersección de las gráficas.

5. Método de matrices (para sistemas más grandes):

• Utiliza matrices y operaciones de álgebra lineal (como la inversa de una matriz o la regla de Cramer) para resolver sistemas más complejos.