TEMA 5: Propiedades de las funciones

 Las propiedades de las funciones son características fundamentales que describen el comportamiento y las relaciones de una función matemática. Estas propiedades son útiles para entender cómo se comportan las funciones en diferentes contextos, ya sea en álgebra, cálculo, geometría, etc. A continuación, te explico algunas de las propiedades más importantes de las funciones:

1. Dominio y Rango

• Dominio: El conjunto de todos los posibles valores de entrada (valores de $x$) para los cuales la función está definida.
• Rango (o imagen): El conjunto de todos los posibles valores de salida (valores de $f(x)$) que la función puede tomar.

2. Inyectividad (Función inyectiva o función uno a uno)

Una función es inyectiva si asigna un valor único de salida para cada valor de entrada distinto. Es decir, no hay dos valores diferentes de $x$ que den el mismo valor de $f(x)$.

• Formalmente: Una función $f$ es inyectiva si para cualquier par de $x_1$ y $x_2$ en el dominio, si $f(x_1) = f(x_2)$, entonces $x_1 = x_2$.

Ejemplo: La función $f(x) = 2x$ es inyectiva, ya que no hay dos valores distintos de $x$ que den el mismo valor para $f(x)$.

3. Sobreyectividad (Función sobreyectiva o función "cubre" todo el codominio)

Una función es sobreyectiva si para cada valor en el codominio (el conjunto de llegada), hay al menos un valor en el dominio que se mapea a él. Es decir, la función cubre completamente el codominio.

• Formalmente: Una función $f: A \to B$ es sobreyectiva si para todo $b \in B$, existe al menos un $a \in A$ tal que $f(a) = b$.

Ejemplo: La función $f(x) = x^3$ es sobreyectiva si el codominio es $\mathbb{R}$ (todos los números reales), porque para cualquier valor de $b$ en $\mathbb{R}$, existe un $x$ tal que $x^3 = b$.

4. Biyectividad (Función biyectiva)

Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo. Es decir, existe una correspondencia uno a uno entre todos los elementos del dominio y los del codominio. Toda función biyectiva tiene una función inversa.

• Formalmente: Una función $f: A \to B$ es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo: La función $f(x) = 2x + 3$ es biyectiva en los reales, ya que es inyectiva (tiene un valor de salida único para cada entrada) y sobreyectiva (cubre todo el codominio $\mathbb{R}$).

5. Paridad

Una función puede ser par o impar dependiendo de cómo se comporta con respecto a la simetría:

• Función par: Una función $f(x)$ es par si para todo $x$ en su dominio, se cumple que $f(-x) = f(x)$. Las funciones pares tienen simetría respecto al eje $y$.
  • Ejemplo: $f(x) = x^2$ es una función par, ya que $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$.
• Función impar: Una función $f(x)$ es impar si para todo $x$ en su dominio, se cumple que $f(-x) = -f(x)$. Las funciones impares tienen simetría respecto al origen.
  • Ejemplo: $f(x) = x^3$ es una función impar, ya que $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$.

6. Monotonía

Una función puede ser monótona si su comportamiento es creciente o decreciente en todo su dominio:

• Función creciente: Una función $f(x)$ es creciente si, para cualquier par de valores $x_1$ y $x_2$ en su dominio, con $x_1 < x_2$, se cumple que $f(x_1) < f(x_2)$.

• Función decreciente: Una función $f(x)$ es decreciente si, para cualquier par de valores $x_1$ y $x_2$ en su dominio, con $x_1 < x_2$, se cumple que $f(x_1) > f(x_2)$.

• Función constante: Si $f(x_1) = f(x_2)$ para todos los $x_1$ y $x_2$, la función es constante (no cambia).

Ejemplo:

• $f(x) = x^2$ es creciente para $x \geq 0$ y decreciente para $x \leq 0$.
• $f(x) = 2x + 3$ es una función lineal y creciente en todo su dominio.

7. Continua y Discontinua

• Función continua: Una función $f(x)$ es continua en un punto $x = a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Esto significa que no tiene "saltos" ni "interrupciones" en su gráfica en ese punto.

• Función discontinua: Una función es discontinua si no es continua en algún punto de su dominio. Puede haber un salto, una asíntota o una interrupción en la gráfica.

8. Derivabilidad

• Función derivable: Una función $f(x)$ es derivable en un punto si su derivada existe en ese punto. En otras palabras, la pendiente de la tangente a la gráfica de la función en ese punto está bien definida.

• Función no derivable: Si una función tiene una esquina, un pico o una discontinuidad, no es derivable en ese punto.

9. Composición de funciones

La composición de funciones es una operación que permite combinar dos funciones para obtener una nueva. Si $f(x)$ y $g(x)$ son dos funciones, la composición de $f$ y $g$ se denota como $(f \circ g)(x) = f(g(x))$.

10. Inversa de una función

Una función $f$ tiene una función inversa denotada por $f^{-1}$ si, para cada $y$ en el codominio de $f$, existe un $x$ en el dominio de $f$ tal que $f(x) = y$. No todas las funciones tienen inversas; para que exista una función inversa, $f$ debe ser biyectiva.

Resumen:

Las propiedades de las funciones nos ayudan a clasificar y analizar su comportamiento. Algunas de las propiedades más importantes son:

• Dominio y rango.
• Inyectividad, sobreyectividad, biyectividad.
• Paridad (funciones pares e impares).
• Monotonía (creciente, decreciente, constante).
• Continua y discontinua.
• Derivabilidad.
• Composición e inversa de funciones.