TEMA 8: Operación con expresión algeabraicas

 Las operaciones con expresiones algebraicas incluyen una variedad de procesos matemáticos que permiten manipular y simplificar expresiones algebraicas. Estas operaciones son fundamentales en álgebra y pueden involucrar suma, resta, multiplicación, división, factorización, simplificación, y más. Aquí te explico algunas de las operaciones más comunes:

1. Suma y Resta de Expresiones Algebraicas

Las expresiones algebraicas se suman o restan cuando tienen términos semejantes. Los términos semejantes son aquellos que tienen la misma variable y exponente.

Ejemplo de Suma:

$$(3x^2 + 4x) + (5x^2 - 2x)$$

1. Primero, identificamos los términos semejantes:

   • $3x^2$ y $5x^2$ son términos semejantes.
   • $4x$ y $-2x$ son términos semejantes.

2. Sumamos los coeficientes de los términos semejantes:

   • $3x^2 + 5x^2 = 8x^2$
   • $4x - 2x = 2x$

Entonces, el resultado es:

$$8x^2 + 2x$$

Ejemplo de Resta:

$$(6x^3 + 4x^2 - 2x) - (2x^3 - 3x^2 + 5x)$$

1. Identificamos los términos semejantes:

   • $6x^3$ y $2x^3$ son términos semejantes.
   • $4x^2$ y $-3x^2$ son términos semejantes.
   • $-2x$ y $5x$ son términos semejantes.

2. Restamos los coeficientes de los términos semejantes:

   • $6x^3 - 2x^3 = 4x^3$
   • $4x^2 - (-3x^2) = 4x^2 + 3x^2 = 7x^2$
   • $-2x - 5x = -7x$

Entonces, el resultado es:

$$4x^3 + 7x^2 - 7x$$

2. Multiplicación de Expresiones Algebraicas

Para multiplicar expresiones algebraicas, usamos la propiedad distributiva (o regla de "multiplicar cada término de una expresión por cada término de la otra").

Ejemplo de Multiplicación:

Multiplicamos $(3x + 2)$ por $(x - 4)$:

$$(3x + 2)(x - 4)$$

Usamos la propiedad distributiva:

$$= 3x(x - 4) + 2(x - 4)$$ $$= 3x^2 - 12x + 2x - 8$$ $$= 3x^2 - 10x - 8$$

Entonces, el resultado es:

$$3x^2 - 10x - 8$$

3. División de Expresiones Algebraicas

La división de expresiones algebraicas puede ser realizada dividiendo los términos o fracciones algebraicas.

Ejemplo de División:

Dividimos $\frac{6x^3 + 3x^2}{3x}$:

1. Dividimos cada término del numerador por el denominador:

$$\frac{6x^3}{3x} + \frac{3x^2}{3x}$$

2. Simplificamos cada fracción:

$$= 2x^2 + x$$

Entonces, el resultado es:

$$2x^2 + x$$

4. Factorización de Expresiones Algebraicas

La factorización es el proceso de escribir una expresión algebraica como el producto de factores. Esto implica encontrar factores comunes o aplicar fórmulas especiales (como la diferencia de cuadrados, trinomios cuadrados perfectos, etc.).

Ejemplo de Factorización:

Factorizamos $3x^2 + 6x$:

1. Buscamos el factor común en ambos términos, que es $3x$.

$$3x^2 + 6x = 3x(x + 2)$$

Entonces, el resultado es:

$$3x(x + 2)$$

Factorización de un trinomio cuadrado:

Factorizamos $x^2 + 5x + 6$:

1. Buscamos dos números que multiplicados den $6$ y sumados den $5$. Esos números son $2$ y $3$.

$$x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$$

Entonces, el resultado es:

$$(x + 2)(x + 3)$$