TEMA 7: Identidad trigonométrica

 Las identidades trigonométricas son ecuaciones que involucran las funciones trigonométricas que son verdaderas para cada valor de las variables involucradas.

Algunas de las más comúnmente usadas identidades trigonométricas son derivadas del teorema de Pitágoras , como las siguientes:

Hay también las identidades recíprocas :

Las identidades cocientes :

Las identidades co-función :

1. Identidades fundamentales

Las identidades trigonométricas más comunes provienen de las relaciones básicas entre las funciones trigonométricas definidas en un triángulo rectángulo y el círculo unitario.

a. Identidad pitagórica básica:

La identidad más fundamental es la que relaciona las funciones seno, coseno y tangente:

$$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$$

Esta identidad se basa en el teorema de Pitágoras y es válida para cualquier ángulo $x$.

b. Tangente en términos de seno y coseno:

La tangente se puede expresar como:

$$\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$$

c. Cotangente en términos de seno y coseno:

De manera similar, la cotangente es:

$$\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$$

2. Identidades trigonométricas derivadas

A partir de las identidades fundamentales, se derivan varias identidades trigonométricas útiles para simplificar expresiones.

a. Identidades recíprocas:

Estas identidades relacionan las funciones trigonométricas con sus recíprocas:

$$\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} \quad , \quad \csc(x) = \frac{1}{\sin(x)} \quad , \quad \cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}$$

b. Identidades de los ángulos dobles (fórmulas para $2x$):

1. Seno de $2x$:

$$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$$

2. Coseno de $2x$ (hay varias formas):

$$\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$$

También se puede escribir de otras maneras, usando las identidades $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$ o $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$:

$$\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 = 1 - 2\sin^2(x)$$

3. Tangente de $2x$:

$$\tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1 - \tan^2(x)}$$

c. Identidades de los ángulos medios (fórmulas para $\frac{x}{2}$):

1. Seno de $\frac{x}{2}$:

$$\sin\left(\frac{x}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos(x)}{2}}$$

El signo depende del cuadrante en el que se encuentre el ángulo $\frac{x}{2}$.

2. Coseno de $\frac{x}{2}$:

$$\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos(x)}{2}}$$

3. Tangente de $\frac{x}{2}$:

$$\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos(x)}{1 + \cos(x)}}$$