TEMA 6: Razones y proporciones

 Las razones y proporciones son conceptos matemáticos fundamentales que se usan para comparar cantidades y establecer relaciones entre ellas. A continuación, te explico en qué consisten y cómo se aplican.

1. Razón

Una razón es la relación entre dos cantidades que se expresan como una fracción, división o cociente. Es decir, una razón compara dos números, mostrando cuántas veces una cantidad es mayor o menor que la otra.

Forma de una razón:

Si tenemos dos cantidades $a$ y $b$, la razón de $a$ a $b$ se escribe como:

$$\text{Razón} = \frac{a}{b} \quad \text{o} \quad a:b$$

Aquí:

• $a$ es el numerador (la primera cantidad),
• $b$ es el denominador (la segunda cantidad).

Ejemplo:

Si tienes un grupo de 12 niños y 8 niñas en una clase, la razón de niños a niñas es:

$$\frac{12}{8} = 3:2$$

Esto significa que por cada 2 niñas hay 3 niños.

2. Proporción

Una proporción es una ecuación que establece que dos razones son iguales. Es decir, una proporción compara dos relaciones.

Forma de una proporción:

Una proporción se escribe como:

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

Esto significa que la razón $\frac{a}{b}$ es igual a la razón $\frac{c}{d}$. Se puede leer como "la razón de $a$ a $b$ es igual a la razón de $c$ a $d$".

Ejemplo:

Si sabemos que la razón de niños a niñas es $3:2$, y en otra clase hay 15 niños, ¿cuántas niñas hay en esa clase si la proporción se mantiene igual?

Planteamos la proporción:

$$\frac{12}{8} = \frac{15}{x}$$

Donde $x$ es el número de niñas. Ahora, resolvemos para $x$:

1. Multiplicamos en cruz:

$$12x = 8 \times 15$$ $$12x = 120$$

2. Dividimos entre 12:

$$x = \frac{120}{12} = 10$$

Entonces, en la clase con 15 niños, hay 10 niñas.

3. Propiedades de las Proporciones

Las proporciones tienen varias propiedades útiles que facilitan su resolución:

1. Producto cruzado: Si $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, entonces $a \cdot d = b \cdot c$. Este es el método que utilizamos para resolver la proporción en el ejemplo anterior (multiplicamos cruzado).

2. Intercambio de términos: Si $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, podemos intercambiar $a$ con $d$ y $b$ con $c$, y la igualdad seguirá siendo válida.

3. Proporciones equivalentes: Si dos proporciones son iguales, se pueden multiplicar o dividir los términos correspondientes sin alterar la relación.

4. Aplicaciones de Razones y Proporciones

Las razones y proporciones se utilizan en una gran cantidad de situaciones cotidianas y en diversos campos como la geometría, la economía, la física, la estadística, y mucho más. Algunas aplicaciones comunes son:

• Escalas en mapas: La razón de la distancia en el mapa respecto a la distancia real en la tierra, como $1:100,000$, significa que cada unidad en el mapa representa 100,000 unidades en la realidad.

• Recetas de cocina: Si una receta requiere 2 tazas de harina para 3 tazas de azúcar, la proporción es $2:3$. Si deseas hacer más o menos cantidad, puedes mantener la misma proporción.

• Intereses bancarios: Si el interés de un préstamo se calcula como una proporción del monto original, como un 5% anual, se usa una razón para calcular el total a pagar.

5. Ejemplo adicional de proporción:

Supón que en una receta para hacer una pizza se usa una proporción de 3 tazas de harina por cada 2 tazas de agua. Si se quiere hacer una pizza usando 9 tazas de harina, ¿cuántas tazas de agua serían necesarias?

Planteamos la proporción:

$$\frac{3}{2} = \frac{9}{x}$$

Donde $x$ es la cantidad de agua. Resolviendo:

1. Multiplicamos en cruz:

$$3x = 2 \times 9$$ $$3x = 18$$

2. Dividimos entre 3:

$$x = \frac{18}{3} = 6$$

Entonces, se necesitan 6 tazas de agua para 9 tazas de harina.